Сложение обладает двумя свойствами: переместительным и сочетательным.
Переместительное свойство сложения
Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится. Действительно, при перестановке слагаемых число единиц, заключающихся в каждом из них, не изменится, а следовательно, и число единиц, заключающихся в сумме, тоже не изменится. В этом можно легко убедиться, рассмотрев следующий пример.
Вычислим сумму двух чисел 3 и 4 двумя способами. Мы можем сначала взять число 3 и прибавить к нему число 4, в результате получится число 7:
Либо взять сначала число 4 и прибавить к нему число 3, в сумме получится опять число 7:
Таким образом, между выражениями 3 + 4 и 4 + 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
переместительное свойство сложения :
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
переместительным законом сложения .
В общем виде, с помощью букв, переместительное свойство сложения можно записать так:
a + b = b + a
где a и b
Сочетательное свойство сложения
Результат сложения трёх или более чисел не зависит от последовательности выполнения действий. Это означает, что слагаемые можно как угодно группировать для удобства вычислений. В этом можно легко убедиться, рассмотрев следующий пример.
Вычислим сумму трёх слагаемых 1, 3 и 4 двумя способами:
Чтобы вычислить значение выражения, мы можем сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить число 4. Для наглядности, сумму чисел 1 и 3 можно заключить в скобки, чтобы указать, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:
1 + 3 + 4 = (1 + 3) + 4 = 4 + 4 = 8
Либо сначала сложить числа 3 и 4 и полученный результат прибавить к числу 1:
1 + 3 + 4 = 1 + (3 + 4) = 1 + 7 = 8
Таким образом, между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
(1 + 3) + 4 = 1 + (3 + 4)
То же самое будет, если в качестве слагаемых взять какие угодно другие натуральные числа.
Рассмотренный пример позволяет сформулировать сочетательное свойство сложения :
Сумма трёх или более слагаемых не зависит от последовательности выполнения действий.
Данное свойство иначе ещё называется сочетательным законом сложения .
В общем виде, с помощью букв, сочетательное свойство сложения можно записать так:
a + (b + c ) = (a + b ) + c
где a , b и c - произвольные натуральные числа.
| Новое на сайте | | | contact@сайт |
| 2018 − 2020 | сайт |
Тема. «Сочетательное свойство сложения. Скобки».
Цели. Познакомить с сочетательным свойством сложения, с новым математическим знаком – скобками; совершенствовать устные и письменные вычислительные навыки табличного сложения и вычитания однозначных чисел в пределах 20 с переходом через разряд.
Учебный материал. Учебник «Математика. 2 класс» (авт. Н.Б. Истомина); тетради на печатной основе: «Тетрадь по математике 1», «Учимся решать комбинаторные задачи»; индивидуальные карточки на кленовых листочках; 15 полосок с выражениями для работы в группах; игра «Распутай клубок»; схемы-опоры; индивидуальные экраны для письма.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Учитель. Поднимите руки те, кто из вас любит путешествовать. Сегодня мы отправимся в математическое путешествие по осеннему лесу, который полон загадок и чудес. А путешественники – это первооткрыватели. Сегодня вы сами постараетесь сделать открытие. Наш девиз: «За всякое дело берись умело».
II. Актуализация знаний
У. Пойдем по лесной тропинке так, чтобы не беспокоить обитателей леса, – только со стороны будем наблюдать за ними.
Игра «Распутай клубок»
На доске записаны равенства, в которых часть чисел закрыта геометрическими фигурами:
По команде учителя дети записывают на индивидуальных экранах пропущенное число и дают объяснение своим действиям.
У. Откуда начнем распутывать клубок? Почему?
Дети. Начнем с выражения 15 – 8, так как известны два числа.
У. Внимание! Напишите на своих экранах значение разности чисел 15 и 8.
Дети написали 7 и одновременно все подняли свои экраны .
– А теперь на какое равенство обратим внимание?
Д. На первое. Там кроме числа 12 изображен такой же треугольник, а значит, должно быть число 7.
У. Верно. Уменьшите 12 на 7.
На экранах дети написали число 5.
Д. Посмотрим на четвертое равенство, так как там кроме числа 9 изображен такой же квадрат, что и в первом равенстве. Значит, на нем должно быть написано число 5.
У. Верно. Найдите значение суммы чисел 5 и 9.
На экранах дети написали число 14.
Д. Возьмем второе равенство, так как там кроме числа 8 есть такой же круг, что и в четвертом равенстве. Значит, на нем должно быть написано число 14.
У. Верно. Найдите значение разности 14 и 8.
На экранах дети написали число 6.
Д. Возьмем пятое равенство, так как там кроме числа 40 есть такой же прямоугольник, что и во втором равенстве. Значит, на нем должно быть написано число 6.
У. Верно. Найдите значение разности чисел 40 и 6.
На экранах дети написали число 34.
III. Знакомство с новым материалом
У. Лесная тропинка привела нас на полянку. Осмотримся. Около деревьев – ковер из разноцветных листьев. У каждого из вас на столе кленовые листочки с заданием. Двое учеников будут работать по заданиям с обратной стороны доски.
Догадайтесь, по какому правилу записаны равенства слева и справа, и вставьте числа в «окошки».
Учащиеся выполняют задание самостоятельно.
|
– Посмотрим, как выполнили задание ребята, работавшие у доски. Что вы можете сказать о содержании заданий?
Д. У всех задания одинаковые.
У. А как они их выполнили?
Д. По-разному.
У. Почему так получилось?
Д. Не все разгадали правило: один знает больше, а другой меньше. Такое задание мы выполняем в первый раз.
IV. Формулировка темы урока
У. Проанализируем равенства и выясним, кто выполнил задание правильно. Сравним левые части равенств первого и второго столбиков.
Д. Они одинаковые. Складываем три числа.
У. Сравним правые части равенств первого и второго столбиков.
Д.
– Во втором столбике сначала сложили второе и третье числа и результат прибавили к первому числу.
У. Какие числа вставим в «окошки»?
Д.
8 + 2 + 5 = 10 + 5
9 + 1 + 7 = 10 + 7
8 + 2 + 5 = 8 + 7
9 + 1 + 7 = 9 + 8
У. Кто догадался и сможет сформулировать тему урока?
Д. Будем складывать три числа разными способами.
У. Мы познакомимся еще с одним свойством сложения. Повторите, как складывали три числа?
Д. В первом столбике сначала сложили первые два числа, а потом прибавили третье.
– Во втором столбике сначала сложили второе и третье числа, и результат прибавили к первому числу.
У. Как все это можно записать? Наверное, должен быть какой-то знак?
Д. Это скобки.
У. Что показывают скобки?
Д. Какое действие нужно выполнять первым.
На доске открывается запись.
|
У. Что вы еще заметили?
Д. Три числа складывали по-разному, а значение суммы одинаково. Оно не зависит от порядка выполнения действий.
У. Проверим, правы ли вы. Откройте учебник на с. 47, прочитайте правило. Вы открыли сейчас для себя сочетательное свойство сложения.
V. Физкультминутка
VI. Первичное закрепление материала
У. Прочитайте задание 127 на с. 48.
Д. « Покажи с помощью скобок, какие два слагаемых ты заменишь значением суммы, и найди значение каждого выражения».
У. Объясните, почему в одних выражениях находили сначала сумму первого и второго чисел и прибавляли третье, а в других к первому числу прибавляли сумму второго и третьего чисел. Поднимите руку те, кто хотел это задание выполнить самостоятельно. Вы будете работать по вариантам. Первый столбик – для учеников 1-го варианта, второй столбик – для 2-го варианта, а третий столбик – дополнительный для тех, кто быстро выполнит задание.
Двое учащихся пишут на доске. Дети выполняют задание. Проверяются все примеры.
– Прочитайте выражение, значение которого – «круглое число».
Д.
30 + (4 + 6) = 40
60 + (24 + 6) = 90
40 + (37 + 3) = 80
У. Прочитайте выражение, значение которого на 7 меньше, чем наибольшее двузначное число.
Д. (20 + 70) + 2 = 92
У. Прочитайте выражение, значение которого – число, состоящее из одинакового количества десятков и единиц.
Д. (30 + 40) + 7 = 77
У. Прочитайте выражение, значение которого – число, идущее перед 50.
Д. 40 + (6 + 3) = 49
У. Самые внимательные, назовут выражения, значения которых мы еще не проверили. Объясните, почему в одних выражениях мы находили сначала сумму первого и второго чисел и прибавляли третье, а в других к первому числу прибавляли сумму второго и третьего чисел.
Д. Нам удобнее складывать числа, при сложении которых получается «круглое» число, – так быстрее производить вычисления.
У. Чтобы запомнить новое свойство сложения и быстро его вспомнить, если забыли, необходимо выбрать схему, состоящую из букв или знаков. Эти схемы находятся на стенах класса. Посмотрите на них, выберите одну и объясните свой выбор.
(* + *) + * = * + (* + *) |
Д. Все схемы подходят. В математике используют латинские буквы, поэтому выберем схему (а + в ) + с = а + (в + с ).
VII. Самостоятельная работа в группах
Учащиеся распределяются на группы, получают задания на полосках разного цвета. Необходимо найти и записать значения данных выражений, используя сочетательное свойство сложения, затем прикрепить полоску с выражением на магнитной доске под соответствующей формулой:
У. Все молодцы! Идем по лесной тропинке дальше. Отгадайте загадку о лесном зверьке:
Не птица, а с дерева на дерево летает.
Д. Это белка.
У. Верно. Помогите белке разместить запасы на зиму по трем дуплам. Работаем в тетрадях на печатной основе «Учимся решать комбинаторные задачи». Выполняем задание 20 на с. 20 самостоятельно.
Проверка:
– Прочитайте задание 21 на с. 20.
Д. « Расположи буквы о , н , с в клеточках по-разному».
У. Выполните это задание самостоятельно.
Дети группируют буквы.
– Что у вас получилось?
Д. Получилось шесть вариантов.
У. Обведите варианты, где получились слова, имеющие смысл.
Д. Это сон и нос .
У. Назовите животных, которые на зиму ложатся в спячку.
Д. Медведь, еж, уж.
У. Какую зимующую птицу называют «лесным доктором»?
Д. Дятла. Своим клювом он достает насекомых из-под коры деревьев, тем самым спасая их от вредителей.
VIII. Итог урока
У. Наше путешествие по осеннему лесу подошло к концу. Какое открытие вы сделали сегодня на уроке?
Д. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел. Это сочетательное свойство сложения.
У. Кому понравилось путешествие, поаплодируйте.
Дети аплодируют.
IХ. Домашнее задание
В «Тетради по математике 1» – с. 33, № 81.
Статья опубликована при поддержке компании "Евроконтракт", одного из основных производителей пеноблоков, стеновых блоков, тротуарной плитки, пазогребневых плит, бордюрного камня и других современных строительных материалов. В настоящее время одно из первых мест по популярности среди стройматериалов прочно закрепилось за пенобетоном. И, надо сказать, вполне заслуженно. В ряде стран пенобетонные блоки даже называют "биоблоками", поскольку они состоят только из натуральных компонентов и являются экологически чистым строительным материалом, безопасным для человека и окружающей среды. Кроме того, пенобетон по сравнению с обычным бетоном, значительно меньше весит, и, следовательно, его намного легче транспортировать, а большие размеры и правильная форма пенобетонных блоков существенно упрощают их кладку. С информацией о массе других преимуществ пенобетонных блоков и их цене можно подробно ознакомиться на сайте evrocontract.ru.
Можно отметить ряд результатов, присущих этому действию. Эти результаты называют свойствами сложения натуральных чисел . В этой статье мы подробно разберем свойства сложения натуральных чисел, запишем их при помощи букв и приведем поясняющие примеры.
Навигация по странице.
Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.
Теперь приведем пример, иллюстрирующий сочетательное свойство сложения натуральных чисел.
Представим ситуацию: с первой яблони упало 1 яблоко, а со второй яблони - 2 яблока и еще 4 яблока. А теперь рассмотрим такую ситуацию: с первой яблони упало 1 яблоко и еще 2 яблока, а со второй яблони упало 4 яблока. Понятно, что на земле и в первом и во втором случае окажется одинаковое количество яблок (что можно проверить пересчетом). То есть, результат сложения числа 1 с суммой чисел 2 и 4 равен результату сложения суммы чисел 1 и 2 с числом 4 .
Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать сочетательное свойство сложения натуральных чисел: чтобы прибавить к данному числу данную сумму двух чисел, можно к этому числу прибавить первое слагаемое данной суммы и к полученному результату прибавить второе слагаемое данной суммы . Это свойство с помощью букв можно записать так: a+(b+c)=(a+b)+c , где a , b и c – произвольные натуральные числа.
Обратите внимание, что в равенстве a+(b+c)=(a+b)+c присутствуют круглые скобки «(» и «)». Скобки используются в выражениях для указания порядка выполнения действий – сначала выполняются действия в скобках (подробнее об этом написано в разделе ). Иными словами, в скобки заключаются выражения, значения которых вычисляются в первую очередь.
В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство сложения позволяет однозначно определить сложение трех, четырех и большего количества натуральных чисел .
Свойство сложения нуля и натурального числа, свойство сложения нуля с нулем.
Мы знаем, что нуль НЕ является натуральным числом. Так почему же мы решили рассмотреть свойство сложения нуля и натурального числа в этой статье? На это есть три причины. Первая: это свойство используется при сложении натуральных чисел столбиком . Вторая: это свойство используется при вычитании натуральных чисел . Третья: если считать, что нуль означает отсутствие чего-либо, то смысл сложения нуля и натурального числа совпадает со смыслом сложения двух натуральных чисел .
Проведем рассуждения, которые помогут нам сформулировать свойство сложения нуля и натурального числа. Представим, что в ящике нет ни одного предмета (иными словами, в ящике находится 0 предметов), и в него помещают a предметов, где a – любое натуральное число. То есть, сложили 0 и a предметов. Понятно, что после этого действия в ящике стало a предметов. Следовательно, справедливо равенство 0+a=a .
Аналогично, если в ящике находится a предметов и в него добавляют 0 предметов (то есть, не добавляют ни одного предмета), то после этого действия в ящике окажутся a предметов. Таким образом, a+0=a .
Теперь мы можем привести формулировку свойства сложения нуля и натурального числа: сумма двух чисел, одно из которых равно нулю, равна второму числу . Математически это свойство можно записать в виде следующего равенства: 0+a=a или a+0=a , где a – произвольное натуральное число.
Отдельно обратим внимание на то, что при сложении натурального числа и нуля остается верным переместительное свойство сложения, то есть, a+0=0+a .
Наконец, сформулируем свойство сложения нуля с нулем (оно достаточно очевидно и не нуждается в дополнительных комментариях): сумма двух чисел, каждое из которых равно нулю, равна нулю . То есть, 0+0=0 .
Теперь пришло время разобраться с тем, как выполняется сложение натуральных чисел .
Список литературы.
- Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
- Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.
Основывается на сложении 2-х натуральных чисел. Сложение 3-х и больше чисел выглядит как последовательное сложение 2-х чисел. Кроме того, в силу переместительного и , числа, которые складываются можно менять местами и заменять любые 2 из складываемых чисел их суммой.
Сочетательное свойство сложения доказывает, что результат сложения 3-х чисел a, b и c не зависит от места скобок. Т.о., суммы a+(b+c) и (a+b)+c можно записать как a+b+c . Это выражение называется суммой , а числа a, b и c - слагаемыми .
Аналогично, в силу сочетательного свойства сложения , равны суммы (a+b)+(c+d), (a+(b+c))+d, ((a+b)+c)+d, a+(b+(c+d)) и a+((b+c)+d). Т.е., итог сложения 4-х натуральных чисел a, b, c и d не зависит от места расположения скобок. В аком случае сумму записывают как: a+b+c+d .
Если в выражении не расставлены скобки, а оно состоит из более,чем двух слагаемых, вы сами можете расставить скобки как вам больше нравится и, последовательно сложить по 2 числа, получив ответ. Т.е., процесс сложения 3-х и более чисел сводится к последовательной замене 2-х соседних слагаемых их суммой.
Для примера вычислим сумму 1+3+2+1+5 . Рассмотрим 2 способа из большого количества существующих.
Первый способ. На каждом шаге заменяем первые 2 слагаемых суммой.
Т.к. сумма чисел 1 и 3 равна 4 , значит:
1+3+2+1+5=4+2+1+5 (мы заменили сумму 1+3 числом 4).
Т.к. сумма 4 + 2 равна 6, то:
4+2+1+5=6+1+5.
Т.к. сумма чисел 6 и 1 равна 7, то:
6+1+5=7+5
И последний шаг, 7+5=12 . Т.о.:
1+3+2+1+5=12
Мы произвели сложение, расставив скобки следующим образом: (((1+3)+2)+1)+5.
Второй способ. Расставим скобки таким образом: ((1+3)+(2+1))+5 .
Так как 1+3=4 , а 2+1=3 , то:
((1+3)+(2+1))+5=(4+3)+5
Сумма 4-х и 3-х равна 7, значит:
(4+3)+5=7+5.
И последний шаг: 7+5=12.
На результат сложения 2-х, 3-х, 4-х и т.д. чисел не влияет не только расстановка скобок, но и порядок, записывания слагаемых. Т.о., при суммировании натуральных чисел можно изменять места слагаемых. Иногда это дает более рациональный процесс решения.
Свойства сложения натуральных чисел.
- Чтобы получить число, следующее за натуральным надо прибавить к нему единицу.
Например: 3 + 1 = 4; 39 + 1 = 40.
- При перестановке мест слагаемых сумма не меняется:
3 + 4 = 4 + 3 = 7 .
Это свойство сложения называется переместительным законом .
- Сумма 3-х и более слагаемых не изменится от изменения порядка сложения чисел.
Например: 3 + (7 + 2) = (3 + 7) + 2 = 12 ;
значит : a + (b + c) = (a + b) + c .
Поэтому вместо 3 + (7 + 2) пишут 3 + 7 + 2 и складывают числа по порядку, слева на право.
Это свойство сложения называют сочетательным законом сложения .
- При прибавлении 0 к числу сумма равна самому числу.
3 + 0 = 3 .
И наоборот, при прибавлении числа к нулю, сумма равна числу.
0 + 3 = 3;
значит : a + 0 = a ; 0 + a = a .
- Если точка C разделяет отрезок АВ , то сумма длин отрезков AC и CB равна длине отрезка AB.
AB = AC + CB.
Если AC = 2 см а CB = 3 см,
то AB = 2 + 3 = 5 см .
Свойства сложения – это первый шаг к ускорению счета. Ученик, владеющий всеми приемами быстрого сложения, имеет больше времени для сложных задач и проверки своего решения. Поэтому имеет смысл рассмотреть свойства сложения еще раз, чтобы правильно применять их на практике
Что такое сложение?
Для начала вспомним, что такое вообще сложение? Сложение это одна из первых операций, которые изучают в школе, а иногда даже в детском саду. Как правило, сложение объясняют на примере фруктов.
Если взять 3 груши и 2 яблока, сложить их в корзину, то груши это первое слагаемое, яблоки второе, а общее количество фруктов в корзине - сумма. Это определение нельзя назвать неправильным, но ученики растут, как растут и используемые числа. Сложно представить себе сложение сотен тысяч фруктов.
Поэтому в математике используют другое определение, которое гласит, что сложение это перемещение точки на числовой прямой в право.
Многие знания усложняются со временем. Так, если в начальной школе ученикам говорят, что отрицательный результат сложения это ошибка, то в 5 классе все уже знают, что такой ответ возможен. Так и с определением свойств сложения. Обычных фруктов просто не хватит для того, чтобы представить себе большие числа. Поэтому в старших классах уходят к теоретическим определениям.
Свойства сложения
Выделяют переместительное и сочетательное свойство. Переместительное свойство говорит нам о том, что от перемены мест слагаемых сумма не поменяется.
Сочетательное свойство утверждает, что в примерах, где два и более множителя, сложение может производиться в любом порядке. Главное в этом случае правильно сгруппировать слагаемые, чтобы ускорить вычисления, а не затруднить его еще сильнее. Самый простой вариант это смотреть на количество единиц в числе. В первую очередь нужно складывать те числа, сумма единиц в которых равняется 10, например 29 и 31 в сумме дадут 60.
После этого складывают целые десятки и только потом все остальное. Это наиболее простой и быстрый путь решение примеров на сложение.
На самом деле даже не каждый профессор сможет отличить применение сочетательного свойства от переместительного. Они крайне похожи, некоторые математики считают даже, что сочетательное свойство является продолжением переместительного. По той же причине учителя редко просят отличить применение в задаче одного свойства от другого. Нужно просто уметь пользоваться обоими.
Пример
Примеры сочетательного свойства сложения найти не трудно. Практически в каждом примере используется это свойство.
15*3+5-13-17-2-16-2 - для начала выполним умножение.
45+5-13-17-2-16-2 - теперь сгруппируем члены так, чтобы вычислить результат как можно быстрее. Для этого нужно вспомнить, что разность можно представить, как сумму отрицательных чисел. В нашем случае просто вынесем минус за знак скобок.
45+5-13-17-2-16-2=(45+5)-(13+17)-(2+2+16) - теперь выполним вычисления в скобках и найдем окончательный результат
45+5-13-17-2-16-2=(45+5)-(13+17)-(2+2+16)=50-30-0=0
Вот такой ответ получился у достаточно большого примера. Не стоит пугаться простых ответов вроде 0 или 1. Иногда составители примеров таким образом путают учеников.
Что мы узнали?
Мы поговорили о сложении, выделили сочетательное и переместительное свойства сложения. Поговорили о различиях этих свойств, а также о правильном применении сочетательного свойства сложения. Решили небольшой пример, чтобы показать применение сочетательного свойства на практике.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.6 . Всего получено оценок: 111.
